Pernyataan Berkuantor

MAKALAH PERNYATAAN BERKUANTOR

Disusun oleh :

1. Beti Nofitasari

2. Estik Komaidah

3. Uningo Wati Utami (2014015398)

4. Munifah Fathurrohmah (2014015399)

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

PENDIDIKAN GURU SEKOLAH DASAR

UNIVERSITAS SARJANAWIYATA TAMANSISWA

2014/2015

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Wr. Wb

              Puji syukur kita panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat dan hidayah-Nya sehingga Makalah ini dapat terselesaikan. Tak lupa pula salam dan taslim tak henti-hentinya kita haturkan kepada junjungan Nabi Muhammad SAW,Nabi pembawa obor keselamatan dunia wal akhirat. Amin

              Ucapan terimakasih kami berikan kepada :

1.      Tri Astuti, M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah logika matematika yang telah

membimbing kami dan memberi dorongan serta masukan kepada kami.

      2.   Dwi Wijayanti, M.Pd selaku wali kelas kami, yang banyak memberikan dukungan.

Sehingga makalah kami ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya. Permohonan maaf dan kritikan yang bersifat membangun sangat kami harapkan karena kami menyadari masih banyak kekurangan dan kekhilafan di dalam makalah  kami ini, karena kesempurnaan sesungguhnya hanya datangnya dari Allah SWT. Semoga makalah kami ini dapat bermanfaat bagi para pembaca pada khususnya dan masyarakat pada umumnya.

Wassalamu’alaikum Wr. Wb

                         

Yogyakarta, 23 Oktober 2014

Penulis

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR                                                          

DAFTAR ISI                                                                         

BAB I. PENDAHULUAN                                       

                                                      A.  Latar Belakang Masalah                    

B.     Rumusan Masalah                              

C.     Tujuan                                                

BAB II. PEMBAHASAN                                        

                                                      Pernyataan Berkuantor                            

a.      Kuantor Universal                              

b.      Kuantor Eksistensial                          

c.      Ingkaran Kuantor Universal              

d.     Ingkaran Kuantor Eksistensial           

e.      Negasi Pernyataan Berkuantor          

BAB III. PENUTUP                                                 

a.      Kesimpulan                                        

b.      Saran                                                  

                        DAFTAR PUSTAKA                                                                       

BAB I

PENDAHULUAN

                                                                                         

A.    Latar Belakang

Secara etimologi, logika berasal dari kata Yunani “logos” yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan–penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid). Proses berpikir yang terjadi disaat meurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran.

Banyak hal yang perlu kita ketahui mengenai logika. Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah. Logika matematika memberikan dasar bagi sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.

B.     Rumusan Masalah

Apa yang dimaksud pernyataan berkuantor ?

C.    Tujuan

Untuk mengetahui operasi-operasi yang terdapat dalam logika matematika, salah satunya pernyataan berkuantor.

BAB II

PEMBAHASAN

Pernyataan Berkuantor

Kuantor adalah pengukur kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Biasanya pernyataan berkuantor mengandung kata semua, setiap, beberapa, ada dan sebagainya. Kata-kata tersebut merupakan kuantor karena kata-kata tersebut menyatakan ukuran jumlah. Kuantor dibagi menjadi dua, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.

a.      Kuantor Universal

Pernyataan yang menggunakan kata semua atau setiap disebut pernyataan berkuantor universal. Kata semua atau setiap disebut kuantor universal. Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor universal :

1.      Semua kuda berlari cepat.

2.      Setiap bilangan asli lebih besar dari nol.

Kalimat terbuka p(x) dapat diubah menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada kalimat terbuka itu dengan nilai-nilai pengganti pada himpunan yang telah ditentukan. Cara lain untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan adalah dengan membubuhkan kuantor universal didepan kalimat terbuka itu. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut :

“x, p(x)

Dibaca : untuk setiap x berlakulah p(x) atau untuk semua x berlakulah p(x)Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar untuk semua individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini : “Semua gajah mempunyai belalai” Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan simbol B maka dapat ditulis : G(x) ⇒ B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai” Tetapi kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat diatas belum memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul kuantor universal sehingga menjadi (∀x)(G(x) ⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai”.

b.      Kuantor Eksistensial

Pernyataan yang menggunakan kata beberapa atau ada disebut pernyataan berkuantor eksistensial. Kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial. Kuantor jenis ini mempunyai lambang ∃ dan dibaca “beberapa”, “terdapat”, atau “ada”. Jika dimisalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka maka ∃ x.p(x) dibaca “untuk beberapa x berlaku p(x)” atau “ada x sedemikian sehingga berlaku p(x)”.Berikut ini adalah contoh pernyataan berkuantor eksistensial“.

Ada pria yang berkacamata,”

Pernyataan tersebut menunjukkan adanya himpunan manusia sebagai himpunan

semestanya (E), adanya himpunan pria (P), serta adanya himpunan manusia yang

berkacamata (B). Jika pernyataan berkuantor eksistensial “Ada pria yang

berkacamata,” bernilai benar maka dapatlah ditarik suatu kesimpulan akan adanya

anggota pada himpunan semesta (minimal satu anggota) yang merupakan anggota

himpunan pria dan juga merupakan anggota manusia yang berkacamata. Artinya,

M A C M = {semua manusia} A = {artis} C = {cantik} 4

kedua himpunan tersebut tidak saling asing (saling lepas). Dengan demikian, P∩B ≠ φyang dapat ditunjukkan dengan Diagram Venn berikut.

Berdasar Diagram Venn di atas yang menunjukkan P∩B ≠ φ, maka pernyataan

berkuantor eksistensial dapat dinyatakan dalam bentuk konjungsi. Contohnya,

pernyataan berkuantor eksistensial: “Ada pria yang berkacamata,” adalah sama

dengan konjungsi berikut: “Ada x sedemikian sehingga x adalah pria dan x adalah

 Berikut beberapa contoh pernyataan yang menggunakan kuantor eksistensial :

1.      Ada bis kota yang bersih.

2.      Beberapa dinding rumah terbuat dari papan kayu.

Seperti halnya pada kuantor universal, kuantor eksistensial juga dapat digunakan untuk mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut :

$ x, p(x)

Dibaca : beberapa x berlakulah p(x) atau ada x berlakulah p(x)

c.       Ingkaran Kuantor Universal.

Perhatikan contoh berikut :

p : Semua kucing berwarna putih

ingkaran dari p adalah ~p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih, atau ~p : Ada kucing yang tidak berwarna putih.

Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut :

~[“x, p(x)]^o $ x, ~p(x)

dibaca : ingkaran dari “untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan

 “ada x yang bukan p(x)”

d.      Ingkaran Kuantor Eksistensial

Perhatikan contoh berikut :

P : Ada pria yang menyukai sepak bola.

Ingkaran dari p adalah ~p : Tidak ada pria yang menyukai sepak bola, atau ~p : Semua pria tidak menyukai sepak bola.

Berdasarkan contoh diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah sebuah pernyataan berkuantor universal. Secara umum, ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial dapat ditentukan sebagai berikut:

~[$ x, p(x)]^o “ x, ~p(x)

Dibaca : ingkaran dari “ada x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “untuk semua x bukan p(x)”.

e.       Negasi Pernyataan Berkuantor

Perlu diingatkan bahwa suatu pernyataan p yang bernilai benar akan menyebabkan negasinya (dengan notasi ~p) bernilai salah, namun jika p bernilai salah maka

negasinya (dengan notasi ~p) akan bernilai benar seperti ditunjukkan tabel kebenaran pernyataan p dan negasinya.

Dengan demikian jelaslah bahwa negasi pernyataan berkuantor adalah pernyataan

lain yang bernilai benar jika pernyataan awalnya bernilai salah dan akan bernilai

salah jika pernyataan awalnya bernilai benar. Kesimpulan inilah yang menjadi dasar penentuan negasi atau ingkaran suatu pernyataan berkuantor.

Bagian berikut ini akan membahas tentang negasi atau ingkaran pernyataan berkuantor, dimulai dengan negasi pernyataan berkuantor universal dan diikuti dengan negasi pernyataan berkuantor eksistensial.

Perhatikan pernyataan berkuantor  berikut:

r : Semua Guru Indonesia sudah bersertifikasi.

Di dalam kehidupan nyata sehari-hari, jika ada orang yang menyatakan di depan

Bapak atau Ibu Guru bahwa “Semua Guru Indonesia bersertifikasi”, apa yang Bapak atau Ibu akan lakukan? Mungkin Bapak atau Ibu akan menyatakan “Yang benar saja, masak semua guru sudah bersertifikasi?” Hal ini menunjukkan bahwa satu orang guru pun yang tidak termasuk kategori kaya dapat dijadikan dasar untuk mengingkari atau menegasikan pernyataan berkuantor tadi. Dengan demikian, negasi dari pernyataan berkuantor universal tadi adalah pernyataan berkuantor eksistensial yang dapat dipenuhi oleh minimal satu orang saja yang tidak memenuhi kriteria bersertifikasi tadi. Dengan demikian, negasi atau ingkaran “Semua Guru Indonesia bersertifikat.” adalah pernyataan berkuantor eksistensial yang tidak memenuhi.Kriteria bersertifikasi tersebut, yaitu “Beberapa (atau terdapat) Guru Indonesia yang tidak bersertifikasi.”

Dengan cara sama, negasi atau ingkaran dari pernyataan berkuantor universal

“Semua bilangan jika dibagi 1 akan menghasilkan bilangan itu sendiri,” dengan nilai benar adalah pernyataan berkuantor eksistensial “Beberapa (ada atau terdapat) bilangan jika dibagi 1 akan tidak menghasilkan bilangan itu sendiri.” Yang bernilai salah. Negasi atau ingkaran dari “Semua bunga indah” adalah “Tidak benar bahwa semua bunga indah” atau “Beberapa bunga tidak indah”.

BAB III

PENUTUP

a.      Kesimpulan

                Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani “logos” yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau biasa juga berarati ilmu pengetahuan (Khusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid).

            Dalam logika matematika ada dua kalimat yang penting, yaitu kalimat pernyataan dan kalimat terbuka serta terdapat juga operasi logika, yaitu negasi (ingkaran), konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi. Dari suatu implikasi dapat dibentuk implikasi lain yaitu konvers, invers, dan kontraposisi. Selain itu, kita juga dapat mengetahui bilangan berkuantor yang ada dalam logika matematika ini.

b.      Saran

Dengan penyusunan makalah ini, penulis berharap pengetahuan mengenai logika matematika  dapat diaplikasikan dalam kehidupan atau dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan. Melalui logika kita dapat mengetahui apakah suatu pernyataan benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan mengambil kesimpulan dengan benar atau salah.