MAKALAH PERNYATAAN BERKUANTOR
Disusun
oleh :
1.
Beti Nofitasari
2. Estik
Komaidah
3.
Uningo Wati
Utami (2014015398)
4.
Munifah
Fathurrohmah (2014015399)
FAKULTAS
KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
PENDIDIKAN
GURU SEKOLAH DASAR
UNIVERSITAS
SARJANAWIYATA TAMANSISWA
2014/2015
KATA PENGANTAR
Assalamu’alaikum Wr. Wb
Puji syukur kita
panjatkan kehadirat Allah SWT karena dengan rahmat dan hidayah-Nya sehingga
Makalah ini dapat terselesaikan. Tak lupa pula salam dan taslim tak
henti-hentinya kita haturkan kepada junjungan Nabi Muhammad SAW,Nabi pembawa
obor keselamatan dunia wal akhirat. Amin
Ucapan terimakasih kami
berikan kepada :
1. Tri Astuti, M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah logika matematika yang
telah
membimbing kami dan memberi dorongan serta masukan
kepada kami.
2. Dwi Wijayanti, M.Pd selaku wali kelas kami, yang banyak memberikan dukungan.
Sehingga makalah kami ini dapat terselesaikan tepat pada waktunya.
Permohonan maaf dan kritikan yang bersifat membangun sangat kami harapkan
karena kami menyadari masih banyak kekurangan dan kekhilafan di dalam
makalah kami ini, karena kesempurnaan
sesungguhnya hanya datangnya dari Allah SWT. Semoga makalah kami ini dapat
bermanfaat bagi para pembaca pada khususnya dan masyarakat pada umumnya.
Wassalamu’alaikum Wr. Wb
Yogyakarta, 23 Oktober 2014
Penulis
DAFTAR
ISI
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I. PENDAHULUAN
A. Latar
Belakang Masalah
B.
Rumusan
Masalah
C.
Tujuan
BAB II. PEMBAHASAN
Pernyataan Berkuantor
a.
Kuantor
Universal
b.
Kuantor
Eksistensial
c.
Ingkaran
Kuantor Universal
d.
Ingkaran
Kuantor Eksistensial
e.
Negasi
Pernyataan Berkuantor
BAB III. PENUTUP
a.
Kesimpulan
b.
Saran
DAFTAR PUSTAKA
BAB
I
PENDAHULUAN
A.
Latar
Belakang
Secara
etimologi, logika berasal dari kata Yunani “logos” yang berarti kata, ucapan,
pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986).
Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji
penurunan–penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid). Proses berpikir yang
terjadi disaat meurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan
yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran.
Banyak
hal yang perlu kita ketahui mengenai logika. Dengan logika, kita juga dapat
mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting
yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan
atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah. Logika matematika memberikan
dasar bagi sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat digunakan dalam banyak aspek
kehidupan.
B.
Rumusan
Masalah
Apa yang dimaksud
pernyataan berkuantor ?
C.
Tujuan
Untuk mengetahui operasi-operasi
yang terdapat dalam logika matematika, salah satunya pernyataan berkuantor.
BAB
II
PEMBAHASAN
Pernyataan
Berkuantor
Kuantor adalah
pengukur kuantitas atau jumlah. Pernyataan berkuantor artinya pernyataan yang
mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Biasanya pernyataan berkuantor
mengandung kata semua, setiap, beberapa, ada dan sebagainya. Kata-kata tersebut
merupakan kuantor karena kata-kata tersebut menyatakan ukuran jumlah. Kuantor
dibagi menjadi dua, yaitu kuantor universal dan kuantor eksistensial.
a.
Kuantor
Universal
Pernyataan yang
menggunakan kata semua atau setiap disebut pernyataan berkuantor universal.
Kata semua atau setiap disebut kuantor universal. Berikut beberapa contoh
pernyataan yang menggunakan kuantor universal :
1. Semua
kuda berlari cepat.
2. Setiap
bilangan asli lebih besar dari nol.
Kalimat terbuka p(x) dapat diubah
menjadi pernyataan dengan cara mengganti peubah pada kalimat terbuka itu dengan
nilai-nilai pengganti pada himpunan yang telah ditentukan. Cara lain untuk
mengubah kalimat terbuka menjadi pernyataan adalah dengan membubuhkan kuantor
universal didepan kalimat terbuka itu. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat
terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai
berikut :
“x, p(x)
Dibaca : untuk setiap x
berlakulah p(x) atau untuk semua x berlakulah p(x)Kuantor universal disimbolkan dengan “∀”. Kuantor universal mengindikasikan bahwa sesuatu bernilai benar
untuk semua individual-individualnya. Perhatikan kalimat berikut ini : “Semua
gajah mempunyai belalai” Maka jika predikat “mempunyai belalai” diganti dengan
simbol B maka dapat ditulis : G(x) ⇒
B(x), dapat dibaca “Jika x adalah gajah, maka x mempunyai belalai” Tetapi
kalimat di atas belum berupa kalimat berkuantor karena kalimat diatas belum
memuat kata “semua”. Untuk itu perlu ditambahkan simbul kuantor universal
sehingga menjadi (∀x)(G(x)
⇒ B(x)), jadi sekarang dapat dibaca ” Untuk semua x, jika x adalah
gajah, maka x mempunyai belalai”.
b.
Kuantor
Eksistensial
Pernyataan yang
menggunakan kata beberapa atau ada disebut pernyataan berkuantor eksistensial.
Kata beberapa atau ada disebut kuantor eksistensial. Kuantor jenis ini mempunyai lambang ∃ dan dibaca “beberapa”,
“terdapat”, atau “ada”. Jika dimisalkan p(x) adalah suatu kalimat terbuka maka ∃ x.p(x) dibaca “untuk beberapa x berlaku p(x)” atau “ada x sedemikian
sehingga berlaku p(x)”.Berikut ini adalah contoh pernyataan berkuantor
eksistensial“.
Ada pria yang
berkacamata,”
Pernyataan tersebut menunjukkan adanya himpunan manusia sebagai himpunan
semestanya (E), adanya himpunan pria (P), serta adanya himpunan manusia
yang
berkacamata (B). Jika pernyataan berkuantor eksistensial “Ada pria yang
berkacamata,” bernilai benar maka dapatlah ditarik suatu kesimpulan akan
adanya
anggota pada himpunan semesta (minimal satu anggota) yang merupakan anggota
himpunan pria dan juga merupakan anggota manusia yang berkacamata. Artinya,
kedua himpunan tersebut tidak saling asing (saling lepas). Dengan demikian,
P∩B ≠ φyang dapat ditunjukkan dengan Diagram Venn berikut.
Berdasar Diagram Venn di atas yang menunjukkan P∩B ≠ φ, maka pernyataan
berkuantor eksistensial dapat dinyatakan dalam bentuk konjungsi. Contohnya,
pernyataan berkuantor eksistensial: “Ada pria yang berkacamata,” adalah
sama
dengan konjungsi berikut: “Ada x sedemikian sehingga x adalah pria dan x
adalah
Berikut beberapa contoh pernyataan yang
menggunakan kuantor eksistensial :
1. Ada
bis kota yang bersih.
2. Beberapa
dinding rumah terbuat dari papan kayu.
Seperti halnya pada
kuantor universal, kuantor eksistensial juga dapat digunakan untuk mengubah
kalimat terbuka menjadi pernyataan. Misalkan p(x) adalah sebuah kalimat
terbuka, maka untuk menyatakan penyelesaian dari p(x) dituliskan sebagai berikut
:
$ x, p(x)
Dibaca :
beberapa x berlakulah p(x) atau ada x berlakulah p(x)
c.
Ingkaran
Kuantor Universal.
Perhatikan contoh
berikut :
p : Semua kucing
berwarna putih
ingkaran dari p adalah
~p : Tidak benar bahwa semua kucing berwarna putih, atau ~p : Ada kucing yang
tidak berwarna putih.
Berdasarkan contoh
diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor universal adalah sebuah
pernyataan berkuantor eksistensial. Secara umum, ingkaran dari pernyataan
berkuantor universal dapat ditentukan sebagai berikut :
~[“x, p(x)]o
$ x, ~p(x)
dibaca :
ingkaran dari “untuk setiap x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan
“ada x yang bukan p(x)”
d.
Ingkaran
Kuantor Eksistensial
Perhatikan contoh
berikut :
P : Ada pria yang
menyukai sepak bola.
Ingkaran dari p adalah
~p : Tidak ada pria yang menyukai sepak bola, atau ~p : Semua pria tidak
menyukai sepak bola.
Berdasarkan contoh
diatas tampak bahwa ingkaran dari pernyataan berkuantor eksistensial adalah
sebuah pernyataan berkuantor universal. Secara umum, ingkaran dari pernyataan
berkuantor eksistensial dapat ditentukan sebagai berikut:
~[$ x, p(x)]o
“ x, ~p(x)
Dibaca :
ingkaran dari “ada x berlakulah p(x)” ekuivalen dengan “untuk semua x bukan
p(x)”.
e. Negasi Pernyataan Berkuantor
Perlu diingatkan bahwa
suatu pernyataan p yang bernilai benar akan menyebabkan negasinya (dengan
notasi ~p) bernilai salah, namun jika p bernilai salah maka
negasinya (dengan notasi ~p) akan bernilai benar
seperti ditunjukkan tabel kebenaran pernyataan p dan negasinya.
Dengan demikian jelaslah bahwa negasi pernyataan
berkuantor adalah pernyataan
lain yang bernilai benar jika pernyataan awalnya
bernilai salah dan akan bernilai
salah jika pernyataan awalnya bernilai benar.
Kesimpulan inilah yang menjadi dasar penentuan negasi atau ingkaran suatu
pernyataan berkuantor.
Bagian berikut ini akan membahas tentang negasi atau
ingkaran pernyataan berkuantor, dimulai dengan negasi pernyataan berkuantor
universal dan diikuti dengan negasi pernyataan berkuantor eksistensial.
Perhatikan pernyataan berkuantor berikut:
r : Semua Guru Indonesia sudah bersertifikasi.
Di dalam kehidupan nyata sehari-hari, jika ada orang
yang menyatakan di depan
Bapak atau Ibu Guru bahwa “Semua Guru Indonesia
bersertifikasi”, apa yang Bapak atau Ibu akan lakukan? Mungkin Bapak atau Ibu
akan menyatakan “Yang benar saja, masak semua guru sudah bersertifikasi?” Hal
ini menunjukkan bahwa satu orang guru pun yang tidak termasuk kategori kaya
dapat dijadikan dasar untuk mengingkari atau menegasikan pernyataan berkuantor
tadi. Dengan demikian, negasi dari pernyataan berkuantor universal tadi adalah
pernyataan berkuantor eksistensial yang dapat dipenuhi oleh minimal satu orang
saja yang tidak memenuhi kriteria bersertifikasi tadi. Dengan demikian, negasi
atau ingkaran “Semua Guru Indonesia bersertifikat.” adalah pernyataan
berkuantor eksistensial yang tidak memenuhi.Kriteria bersertifikasi tersebut,
yaitu “Beberapa (atau terdapat) Guru Indonesia yang tidak bersertifikasi.”
Dengan cara sama, negasi atau ingkaran dari pernyataan
berkuantor universal
“Semua bilangan jika dibagi 1 akan menghasilkan bilangan
itu sendiri,” dengan nilai benar adalah pernyataan berkuantor eksistensial
“Beberapa (ada atau terdapat) bilangan jika dibagi 1 akan tidak menghasilkan
bilangan itu sendiri.” Yang bernilai salah. Negasi atau ingkaran dari “Semua
bunga indah” adalah “Tidak benar bahwa semua bunga indah” atau “Beberapa bunga
tidak indah”.
BAB III
PENUTUP
a.
Kesimpulan
Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani “logos” yang berarti
kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau biasa juga berarati ilmu pengetahuan
(Khusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang
mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid).
Dalam logika matematika ada dua kalimat yang penting,
yaitu kalimat pernyataan dan kalimat terbuka serta terdapat juga operasi
logika, yaitu negasi (ingkaran), konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi.
Dari suatu implikasi dapat dibentuk implikasi lain yaitu konvers, invers, dan
kontraposisi. Selain itu, kita juga dapat mengetahui bilangan berkuantor yang
ada dalam logika matematika ini.
b. Saran
Dengan penyusunan makalah ini, penulis berharap pengetahuan mengenai logika
matematika dapat diaplikasikan dalam kehidupan atau
dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan. Melalui logika kita dapat
mengetahui apakah suatu pernyataan benar atau salah. Hal terpenting yang akan
didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan mengambil
kesimpulan dengan benar atau salah.